贝叶斯经典案例
一、贝叶斯经典案例
卢钦斯水罐问题讲的是认知心理学中的工作记忆理论因为卢钦斯水罐问题是通过实验研究探讨了工作记忆的容量和受限性。该研究表明，在工作记忆中，能够有效存留的信息是有限的，且受到干扰的影响更为明显。此外，工作记忆在进行信息处理、学习和决策等方面扮演着重要角色，对于人们的日常生活和学习过程都具有重要意义。延伸内容：从卢钦斯水罐问题中可以引申出对于个体心理认知机制的深入研究，包括大脑信息处理、记忆形成和维持等方面。同时该问题的研究方法和结果也对认知心理学的发展和应用具有启示意义。
二、贝叶斯书籍推荐
以下是概率初步知识点的归纳：
试验与事件：概率研究的基础是试验和事件。试验是指根据特定规则进行的一次观察、测量或操作，而事件是试验结果的某种集合。
样本空间与事件空间：样本空间是指试验的所有可能结果的集合，事件空间是指样本空间中的一部分，表示我们感兴趣的事件。
概率：概率是描述事件发生可能性的数值，通常用介于0和1之间的实数表示。概率为0表示事件不可能发生，概率为1表示事件一定会发生。
古典概型：古典概型是指试验的所有结果是等可能且有限的情况。在古典概型中，事件的概率可以通过计算有利结果的数量与总结果数量的比值来确定。
相对频率：相对频率是通过重复试验并观察事件发生的次数来估计事件的概率。当试验次数足够大时，相对频率会趋近于事件的概率。
概率公式：概率可以通过不同的方法计算，如加法法则、乘法法则和条件概率公式。这些公式提供了计算复杂事件概率的工具。
条件概率：条件概率指在给定其他事件发生的条件下，某一事件发生的概率。条件概率可以通过条件概率公式计算，其中使用了两个事件的交集和边际概率。
独立事件与互斥事件：独立事件指两个事件的发生与否相互独立，互不影响；互斥事件指两个事件不能同时发生，即它们的交集为空集。
事件的补集与逆事件：事件的补集是指除了该事件之外的所有其他事件，逆事件是指事件不发生的情况。事件和它的补集的概率之和为1。
加法法则：加法法则用于计算多个事件的概率之和。对于互斥事件，可以直接将它们的概率相加；对于非互斥事件，需要减去它们的交集部分的概率。
这些是概率初步知识的一些重要点，它们提供了理解概率概念和计算概率的基础。概率是数学中的重要分支，在实际应用中有广泛的应用，如统计学、金融、工程等领域。
三、贝叶斯推理法
贝叶斯(1702-1763)ThomasBayes，英国数学家.1702年出生于伦敦，做过神甫。1742年成为英国皇家学会会员。1763年4月7日逝世。贝叶斯在数学方面主要研究概率论。他首先将归纳推理法用于概率论基础理论，并创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断、统计的估算等做出了贡献.1763年发表了这方面的论著，对于现代概率论和数理统计都有很重要的作用。贝叶斯的另一著作《机会的学说概论》发表于1758年。贝叶斯所采用的许多术语被沿用至今。
贝叶斯决策理论是主观贝叶斯派归纳理论的重要组成部分。
贝叶斯决策就是在不完全情报下，对部分未知的状态用主观概率估计，然后用贝叶斯公式对发生概率进行修正，最后再利用期望值和修正概率做出最优决策。
贝叶斯决策理论方法是统计模型决策中的一个基本方法，其基本思想是：
1、已知类条件概率密度参数表达式和先验概率。
2、利用贝叶斯公式转换成后验概率。
3、根据后验概率大小进行决策分类。
他对统计推理的主要贡献是使用了"逆概率"这个概念，并把它作为一种普遍的推理方法提出来。贝叶斯定理原本是概率论中的一个定理，这一定理可用一个数学公式来表达，这个公式就是著名的贝叶斯公式。贝叶斯公式是他在1763年提出来的：
假定B1,B2,……是某个过程的若干可能的前提，则P(Bi)是人们事先对各前提条件出现可能性大小的估计，称之为先验概率。如果这个过程得到了一个结果A，那么贝叶斯公式提供了我们根据A的出现而对前提条件做出新评价的方法。P(Bi∣A)既是对以A为前提下Bi的出现概率的重新认识，称P(Bi∣A)为后验概率。经过多年的发展与完善，贝叶斯公式以及由此发展起来的一整套理论与方法，已经成为概率统计中的一个冠以“贝叶斯”名字的学派，在自然科学及国民经济的许多领域中有着广泛应用。
四、贝叶斯推断知乎
贝叶斯定理是关于随机事件A和B的条件概率（或边缘概率）的一则定理。
其中P(A|B)是在B发生的情况下A发生的可能性。
贝叶斯定理也称贝叶斯推理，早在18世纪，英国学者贝叶斯(1702～1761)曾提出计算条件概率的公式用来解决如下一类问题：假设H[1],H[2]…,H[n]互斥且构成一个完全事件，已知它们的概率P(H[i]),i=1,2,…,n,现观察到某事件A与H[1],H[2]…,H[n]相伴随机出现，且已知条件概率P(A|H[i])，求P(H[i]|A)。
五、从贝叶斯公式,你体会到了怎样的人生哲理
贝叶斯决策理论，是主观贝叶斯派归纳理论的重要组成部分。贝叶斯决策就是在不完全情报下，对部分未知的状态用主观概率估计，然后用贝叶斯公式对发生概率进行修正，最后再利用期望值和修正概率做出最优决策。
贝叶斯决策理论方法是统计模型决策中的一个基本方法。
六、贝叶斯推理树
一天小明去做例行体检，检查结果显示小明对一宗罕见的病呈阳性，医生根据历史数据得知普通人得这种病的概率是0.1%(基础概率，PriorBelief)。于是小明问医生，我得了这种病的概率是多少呢？医生说，患者的检测结果99%会呈阳性，对于非患者，有1%的概率会呈阳性（误诊）。
大家先问问自己，小明患病的概率是多少？大部分人的直觉答案是99%，或者至少很高。可惜错了，因为我们忽略了基础概率，请仔细阅读下面的分析。
当我们用贝叶斯定理分析时，我们可以假设检查呈阳性为事件A，发生的概率为P(A)；小明患病为事件B，发生的概率为P(B)；两个事件一起发生的概率为P(A[公式]B)。根据正文前的概念1可知P(B|A)*P(A)=P(A|B)*P(B)，等式两边同时除以P(A)可以得到P(B|A)=P(A|B)*P(B)/P(A)。
现在我们把具体情境套入公式，P(B|A)代表当小明的检查为阳性时，小明为患者的概率（也就是小明最关心的问题）；P(A|B)代表当小明为患者的情况下，检查呈阳性的概率（99%）；P(B)是小明患病的基础概率，也就是在没有其他信息的情况下，小明患这种病的概率（0.1%）；P(A)是随机挑一个人，检查结果为阳性的期望值（备注1），这个例子中P(A)=0.01098。把数字代入公式中，我们可以得到P(B|A)[公式]9%，也就是说在检查结果为阳性的情况下，小明患病的概率只有9%。
虽然以上结论非常反直觉，但是一旦把被误诊为阳性的人考虑进去，这个结论就符合直觉了。假设有个1000人的样本，根据基础概率（0.1%）只会有1个病人，而剩下的999个非患者有1%的概率被误诊，也就是大约有10个非患者的检查结果呈阳性。加上1个被确诊的患者，这个1000人的样本中共有11个人的检查结果为阳性，而只有一个病人，也就是1/11[公式]9%。回到原来的情景，我们可以想象小明在一个有11个检查结果为阳性，却只有一个病人的小组中，所以小明是患者的概率约为9%。
这是不是表明医学对监测罕见疾病无能为力呢？当然不是，解决问题的方法很简单，只要对第一次结果呈阳性的人再做一次检测就行了（假设两次检查结果互相独立）。第一次的结果为阳性的的小组里，患病的基础概率已经从0.1%提高到9%，把数据重新代入公式，我们可以得出P(B|A)[公式]91%。
以上是对贝叶斯定理的简单应用，其实大到破解德军密码到小到筛选垃圾邮件都运用了贝叶斯定理，说它贯穿了我们生活的方方面面也一点不过分。贝叶斯定理让我们关注基本概率，并通过新的信息不断更新基本概率，从而提高判断的准确度。
一个简单的公式背后是指导认识世界的深刻哲学，这才是能让人兴奋得尖叫的智慧。
备注1：P(A)=P(B)*P(A|B)+P(-B)*P(A|-B)。呈阳性的期望值分为两部分，一种是“患者(B)”的确诊，另一种是“非患者(-B)”的误诊，分别把“患者”和“非患者”的基础概率乘以其确诊的误诊的概率就是随机挑选一个被试，检查结果呈阳性的概率。
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卢钦斯水罐问题讲的是认知心理学中的工作记忆理论因为卢钦斯水罐问题是通过实验研究探讨了工作记忆的容量和受限性。该研究表明，在工作记忆中，能够有效存留的信息是有限的，且受到干扰的影响更为明显。此外，工作记忆在进行信息处理、学习和决策等方面扮演着重要角色，对于人们的日常生活和学习过程都具有重要意义。延伸内容：从卢钦斯水罐问题中可以引申出对于个体心理认知机制的深入研究，包括大脑信息处理、记忆形成和维持等方面。同时该问题的研究方法和结果也对认知心理学的发展和应用具有启示意义。
二、贝叶斯书籍推荐
以下是概率初步知识点的归纳：
试验与事件：概率研究的基础是试验和事件。试验是指根据特定规则进行的一次观察、测量或操作，而事件是试验结果的某种集合。
样本空间与事件空间：样本空间是指试验的所有可能结果的集合，事件空间是指样本空间中的一部分，表示我们感兴趣的事件。
概率：概率是描述事件发生可能性的数值，通常用介于0和1之间的实数表示。概率为0表示事件不可能发生，概率为1表示事件一定会发生。
古典概型：古典概型是指试验的所有结果是等可能且有限的情况。在古典概型中，事件的概率可以通过计算有利结果的数量与总结果数量的比值来确定。
相对频率：相对频率是通过重复试验并观察事件发生的次数来估计事件的概率。当试验次数足够大时，相对频率会趋近于事件的概率。
概率公式：概率可以通过不同的方法计算，如加法法则、乘法法则和条件概率公式。这些公式提供了计算复杂事件概率的工具。
条件概率：条件概率指在给定其他事件发生的条件下，某一事件发生的概率。条件概率可以通过条件概率公式计算，其中使用了两个事件的交集和边际概率。
独立事件与互斥事件：独立事件指两个事件的发生与否相互独立，互不影响；互斥事件指两个事件不能同时发生，即它们的交集为空集。
事件的补集与逆事件：事件的补集是指除了该事件之外的所有其他事件，逆事件是指事件不发生的情况。事件和它的补集的概率之和为1。
加法法则：加法法则用于计算多个事件的概率之和。对于互斥事件，可以直接将它们的概率相加；对于非互斥事件，需要减去它们的交集部分的概率。
这些是概率初步知识的一些重要点，它们提供了理解概率概念和计算概率的基础。概率是数学中的重要分支，在实际应用中有广泛的应用，如统计学、金融、工程等领域。
三、贝叶斯推理法
贝叶斯(1702-1763)ThomasBayes，英国数学家.1702年出生于伦敦，做过神甫。1742年成为英国皇家学会会员。1763年4月7日逝世。贝叶斯在数学方面主要研究概率论。他首先将归纳推理法用于概率论基础理论，并创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断、统计的估算等做出了贡献.1763年发表了这方面的论著，对于现代概率论和数理统计都有很重要的作用。贝叶斯的另一著作《机会的学说概论》发表于1758年。贝叶斯所采用的许多术语被沿用至今。
贝叶斯决策理论是主观贝叶斯派归纳理论的重要组成部分。
贝叶斯决策就是在不完全情报下，对部分未知的状态用主观概率估计，然后用贝叶斯公式对发生概率进行修正，最后再利用期望值和修正概率做出最优决策。
贝叶斯决策理论方法是统计模型决策中的一个基本方法，其基本思想是：
1、已知类条件概率密度参数表达式和先验概率。
2、利用贝叶斯公式转换成后验概率。
3、根据后验概率大小进行决策分类。
他对统计推理的主要贡献是使用了"逆概率"这个概念，并把它作为一种普遍的推理方法提出来。贝叶斯定理原本是概率论中的一个定理，这一定理可用一个数学公式来表达，这个公式就是著名的贝叶斯公式。贝叶斯公式是他在1763年提出来的：
假定B1,B2,……是某个过程的若干可能的前提，则P(Bi)是人们事先对各前提条件出现可能性大小的估计，称之为先验概率。如果这个过程得到了一个结果A，那么贝叶斯公式提供了我们根据A的出现而对前提条件做出新评价的方法。P(Bi∣A)既是对以A为前提下Bi的出现概率的重新认识，称P(Bi∣A)为后验概率。经过多年的发展与完善，贝叶斯公式以及由此发展起来的一整套理论与方法，已经成为概率统计中的一个冠以“贝叶斯”名字的学派，在自然科学及国民经济的许多领域中有着广泛应用。
四、贝叶斯推断知乎
贝叶斯定理是关于随机事件A和B的条件概率（或边缘概率）的一则定理。
其中P(A|B)是在B发生的情况下A发生的可能性。
贝叶斯定理也称贝叶斯推理，早在18世纪，英国学者贝叶斯(1702～1761)曾提出计算条件概率的公式用来解决如下一类问题：假设H[1],H[2]…,H[n]互斥且构成一个完全事件，已知它们的概率P(H[i]),i=1,2,…,n,现观察到某事件A与H[1],H[2]…,H[n]相伴随机出现，且已知条件概率P(A|H[i])，求P(H[i]|A)。
五、从贝叶斯公式,你体会到了怎样的人生哲理
贝叶斯决策理论，是主观贝叶斯派归纳理论的重要组成部分。贝叶斯决策就是在不完全情报下，对部分未知的状态用主观概率估计，然后用贝叶斯公式对发生概率进行修正，最后再利用期望值和修正概率做出最优决策。
贝叶斯决策理论方法是统计模型决策中的一个基本方法。
六、贝叶斯推理树
一天小明去做例行体检，检查结果显示小明对一宗罕见的病呈阳性，医生根据历史数据得知普通人得这种病的概率是0.1%(基础概率，PriorBelief)。于是小明问医生，我得了这种病的概率是多少呢？医生说，患者的检测结果99%会呈阳性，对于非患者，有1%的概率会呈阳性（误诊）。
大家先问问自己，小明患病的概率是多少？大部分人的直觉答案是99%，或者至少很高。可惜错了，因为我们忽略了基础概率，请仔细阅读下面的分析。
当我们用贝叶斯定理分析时，我们可以假设检查呈阳性为事件A，发生的概率为P(A)；小明患病为事件B，发生的概率为P(B)；两个事件一起发生的概率为P(A[公式]B)。根据正文前的概念1可知P(B|A)*P(A)=P(A|B)*P(B)，等式两边同时除以P(A)可以得到P(B|A)=P(A|B)*P(B)/P(A)。
现在我们把具体情境套入公式，P(B|A)代表当小明的检查为阳性时，小明为患者的概率（也就是小明最关心的问题）；P(A|B)代表当小明为患者的情况下，检查呈阳性的概率（99%）；P(B)是小明患病的基础概率，也就是在没有其他信息的情况下，小明患这种病的概率（0.1%）；P(A)是随机挑一个人，检查结果为阳性的期望值（备注1），这个例子中P(A)=0.01098。把数字代入公式中，我们可以得到P(B|A)[公式]9%，也就是说在检查结果为阳性的情况下，小明患病的概率只有9%。
虽然以上结论非常反直觉，但是一旦把被误诊为阳性的人考虑进去，这个结论就符合直觉了。假设有个1000人的样本，根据基础概率（0.1%）只会有1个病人，而剩下的999个非患者有1%的概率被误诊，也就是大约有10个非患者的检查结果呈阳性。加上1个被确诊的患者，这个1000人的样本中共有11个人的检查结果为阳性，而只有一个病人，也就是1/11[公式]9%。回到原来的情景，我们可以想象小明在一个有11个检查结果为阳性，却只有一个病人的小组中，所以小明是患者的概率约为9%。
这是不是表明医学对监测罕见疾病无能为力呢？当然不是，解决问题的方法很简单，只要对第一次结果呈阳性的人再做一次检测就行了（假设两次检查结果互相独立）。第一次的结果为阳性的的小组里，患病的基础概率已经从0.1%提高到9%，把数据重新代入公式，我们可以得出P(B|A)[公式]91%。
以上是对贝叶斯定理的简单应用，其实大到破解德军密码到小到筛选垃圾邮件都运用了贝叶斯定理，说它贯穿了我们生活的方方面面也一点不过分。贝叶斯定理让我们关注基本概率，并通过新的信息不断更新基本概率，从而提高判断的准确度。
一个简单的公式背后是指导认识世界的深刻哲学，这才是能让人兴奋得尖叫的智慧。
备注1：P(A)=P(B)*P(A|B)+P(-B)*P(A|-B)。呈阳性的期望值分为两部分，一种是“患者(B)”的确诊，另一种是“非患者(-B)”的误诊，分别把“患者”和“非患者”的基础概率乘以其确诊的误诊的概率就是随机挑选一个被试，检查结果呈阳性的概率。
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